ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად.

განმარტება

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(1,2,3),(3,1,2)\text{ or }(2,3,1),\\ -1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(1,3,2),(3,2,1)\text{ or }(2,1,3),\\ 0& \text{if }i=j\text{ or }j=k\text{ or }k=i\end{array}$

ანუ ${\epsilon }_{ijk}$ არის 1 თუ (i, j, k) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო.

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

${\epsilon }_{ijk}=\frac{(j-i)(k-i)(k-j)}{2}=\frac{(i-j)(j-k)(k-i)}{2}.$

ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

${\epsilon }_{ijkl}=\frac{(j-i)(k-i)(l-i)(k-j)(l-j)(l-k)}{12}.$

ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.

მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.

წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:

$\det A=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$

ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

ან უფრო მარტივად:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k.$

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა:

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}=\det \left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right],$

$={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})-{\delta }_{im}({\delta }_{jl}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{kl})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})$

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$,

და

$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

თვისებები

1. ორ განზომილებაში, როდესაც $i,j,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2\}$, გვაქვს

$\begin{array}{cccc}& {\epsilon }_{ij}{\epsilon }^{mn}={\delta }_i^m{\delta }_j^n-{\delta }_i^n{\delta }_j^m& & (1)\\ & {\epsilon }_{ij}{\epsilon }^{in}={\delta }_j^n& & (2)\\ & {\epsilon }_{ij}{\epsilon }^{ij}=2& & (3)\end{array}$

2. სამ განზომილებაში, როდესაც $i,j,k,m,n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,2,3\}$, გვაქვს

$\begin{array}{cccc}& {\epsilon }_{jmn}{\epsilon }^{imn}=2{\delta }_j^i& & (4)\\ & {\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{ijk}=6& & (5)\\ & {\epsilon }_{ijk}{\epsilon }^{imn}={\delta }_j^m{\delta }_k^n-{\delta }_j^n{\delta }_k^m& & (6)\end{array}$

3. n განზომილებაში, როდესაც $i_1,...,i_n,j_1,...,j_n$ იღებს მნიშვნელობებს $\{1,...,n\},$:

$\begin{array}{cccc}& {\epsilon }_{i_1\dots i_n}{\epsilon }^{j_1\dots j_n}=n!{\delta }_{[i_1}^{j_1}\dots {\delta }_{i_n]}^{j_n}& & (7)\\ & {\epsilon }_{i_1\dots i_k{i}_{k+1}\dots i_n}{\epsilon }^{i_1\dots i_k{j}_{k+1}\dots j_n}=k!(n-k)!{\delta }_{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots {\delta }_{i_n]}^{j_n}& & (8)\\ & {\epsilon }_{i_1\dots i_n}{\epsilon }^{i_1\dots i_n}=n!& & (9)\end{array}$

მაგალითები

1. $n\times n$ მატრიცის $A=(a_{ij})$ დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით

$\det A={\epsilon }_{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots a_{n{i}_n},$

სადაც იგულისხმება, რომ ყველა $i_l$ სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა.

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

$\det A=\frac{1}{n!}{\epsilon }_{i_1\cdots i_n}{\epsilon }_{j_1\cdots j_n}{a}_{i_1{j}_1}\cdots a_{i_n{j}_n},$

სადაც ყველა $i_l$ და $j_l$ ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა $1,\dots ,n$ შუალედში.

2. თუ $A=(A^1,A^2,A^3)$ და $B=(B^1,B^2,B^3)$ არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის $i$-ური გეგმილი ტოლია

$(A\times B{)}^i={\epsilon }^{ijk}{A}^j{B}^k.$

იხილეთ აგრეთვე

• ვექტორული ნამრავლი
• კრონეკერის სიმბოლო

სქოლიო

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.