უნივერსალური მომვლები ალგებრა

მათემატიკაში უნივერსალური მომვლები ალგებრა არის კონსტრუქცია რომელიც მოცემულ ლის ალგებრა $𝔤$-ს უსაბამებს $U(𝔤)$ ასოციურ ალგებრას.

ყოველი ასოციური ალგებრა A შეიძლება განხილულ იყოს როგორც ლის ალგებრა თუკი ლის ფრჩხილს განვმარტავთ ტოლობით

$[a,b]=ab-ba.$

ეს ლის ალგებრა აღინიშნება A_L სიმბოლოთი. ამ გზით მიიღება ფუნქტორი ასოციური ალგებრების კატეგორიიდან ლის ალგებრების კატეგორიაში. ამ ფუნქტორს აქვს მარცხნიდან შეუღლებული ფუნქტორი, რომლის მნიშვნელობას $𝔤$-ლის ალგებრაზე ჰქვია $𝔤$-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა და აღინიშნება $U(𝔤)$ სიმბოლოთი. ამრიგად, ყოველი ლის $𝔤$ ალგებრისათვის მოცემულია ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი $h:𝔤\to U(𝔤)$_L ისე რომ, თუ $f:𝔤\to A$_L არის ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი, მაშინ არსებობს ასოციური ალგებრების ერთადერთი ჰომომორფიზმი $g:U(𝔤)\to A$ ისე რომ $f=gh$.

ალგებრა $U(𝔤)$ ასე შეიძლება განიმარტოს:

$U(𝔤)=T(𝔤)/I$

აქ $T(𝔤)$ აღნიშნავს $𝔤$ ვექტორული სივრცით წარმოქმნილ ტენზორულ ალგებრას, ხოლო I იდეალია რომელიც წარმოქმნილია

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b],a,b\in 𝔤.$

ელემენტებით. პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა $U(𝔤)$ ალგებრის სტრუქტურულ აღწერას. შევნიშნოთ, რომ

$U(𝔤\times 𝔥)\cong U(𝔤)\otimes U(𝔥)$

რის გამოც, დიაგონალური ასახვა $𝔤\to 𝔤\times 𝔤$ იწვევს კოგამრავლებას

$U(𝔤)\to U(𝔤)\otimes U(𝔤)$

ამ კოგამრავლებით $U(𝔤)$ ხდება კოკომუტატური ჰოპფის ალგებრა.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN-10: 3540353356.