ტანგენსების თეორემა

ნახ. 1. სამკუთხედის თარგი:Math, თარგი:Math და თარგი:Math კუთხეები არის თარგი:Math, თარგი:Math და თარგი:Math გვერდების მოპირდაპირე.

ტანგენსების თეორემა — ტრიგონომეტრიის თეორემა, რომელიც ამყარებს თანაფარდობას სამკუთხედის გვერდებსა და მათ პირდაპირ მდებარე კუთხეების ნახევარჯამისა და ნახევარსხვაობების ტანგენსებს შორის.

სახელდობრ, თუ a და b სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია, ხოლო A, B — მოპირდაპირე კუთხეების სიდიდეები, მაშინ:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\tan \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}$

ტანგენსების თეორემა, რომელიც ისე ფართოდ ცნობილი არ არის, როგორც სინუსების თეორემა ან კოსინუსების თეორემა, სინუსების თეორემის ეკვივალენტურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ შემთხვევაში, როდესაც ცნობილია ორი გვერდი და მათი მიმდებარე კუთხე, ან ორი კუთხე და გვერდი.

დამტკიცება

ტანგენსების თეორემის დასამტკიცებლად შეიძლება დავიწყოთ სინუსების თეორემით:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

ვთქვათ, რომ

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

ამიტომ

$a=d\sin \alpha$ და $b=d\sin \beta .$

აქედან გამომდინარეობს, რომ

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებით, ფუნქციის ჯამის გარდაქმნის ფორმულა კონკრეტულად სინუსებისთვის იქნება

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \frac{1}{2}(\alpha \pm \beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha \mp \beta ),$

მივიღებთ

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{2\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}=\frac{\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}/\frac{\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}{\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}=\frac{\tan \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\tan \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}.$

იგივეობის გამოყენების ალტერნატივად ორი სინუსის ჯამისთვის ან სხვაობისთვის შეიძლება გამოვიყენოთ:

$\tan \frac{1}{2}(\alpha \pm \beta )=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$