ეილერის ფუნქცია

თარგი:ვიკი რიცხვთა თეორიაში ეილერის ფორმულა ითვლის მთელი დადებითი რიცხვების რაოდენობას რომელებიც არ n–ს და თანამრტივია n–თან. ეილერის ფუნქციას ავღნიშნავთ φ(n)–ით ანუ φ(n) არის ყველა ისეთი k რიცხვის რაოდენობა სადაც 1≤k≤n და უსგ(k,n)=1.

მაგალითად თუ n=9 მაშინ φ(n)=6; რადგან 9–სთან თანამარტივია 1,2,4,5,7,8. როცა n=1, φ(n)=1. რადგან უსგ(1,1)=1, მაგრამ ესაა ერთადერთი შემთხვევა როცა n თანამარტივია საკუთარ თავთან;

ეილერის ფორმულა მარტივი p რიცხვის შემთხვევაში თეორემა: თუ p მარტივია და k ≥ 1, მაშინ [1]

    $\phi (p^k)=p^{k-1}(p-1)=p^k(1-\frac{1}{p}).$

დამტკიცება: მართლაც ნაშთთა სრული სისტემა $p^k$ მოდულით შედგება 1,2,3......$p^k$რიცხვებისგან მათგან $p^k$–სთან თანამარტივია ისინი რომლებიც p–ზე არ იყოფა. ცხადია მოცემულ ნაშთთა სისტემაში p-ზე იყოფა $p,2p,...p^2,...p^k$რომელთა საერთო რაოდენობა ტოლია $p^{k-1}$ მაშასადამე $p^k$–სთან თანამარტივ რიცხვთა რაოდენობა მოცემული სისტემიდან უდრის $p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1).$

მულტიპლიკაციურობა ეილერის ფუნქცია არის მულტიპლიკაციური რაც ნიშნავს რომ ნებისმიერი m და n რიცხვებისთვის რომლებიც თანამარტივი არიან ანუ უსგ(m,n)=1, სამართლიანია შემდეგი ტოლობა φ(mn) = φ(m)φ(n). მაგ: φ(36) = φ(9)φ(4)=6·2=12.

ეილერის ფუნქციის ფორმულა ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის ფორმულის მულტიპლიკაციურობა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის მნშვნელობა.მართლაც ნებისმიერი რიცხვი წარმოსდგება მარტივ რიცხვთა ნამრავლის სახით$n={p_1}^{k_1}\cdots {p_r}^{k_r},$ აქედან გამომდინარე

$\begin{array}{cc}\phi (n)& =\phi \left(p_1^{k_1}\right)\phi \left(p_2^{k_2}\right)\cdots \phi \left(p_r^{k_r}\right)\\ & =p_1^{k_1}(1-\frac{1}{p_1})p_2^{k_2}(1-\frac{1}{p_2})\cdots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_r})\\ & =p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_r})\\ & =n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_r}).\end{array}$

მაგ: $\phi (36)=\phi \left(2^2{3}^2\right)=36(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=36\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=12.$

ეილერის თეორემა რიცხვთა თეორიაში მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს ეილერის შემდეგი თეორემა

თუ უსგ(a,m)=1 მაშინ $a^{\phi (m)}\equiv 1(modm);$

წყარო

"რიცხვთა თეორია " მათემატიკის მეორე კურსი

^ Long (1972, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 72)

^ Long (1972, p. 162)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 80)

^ See Euler's theorem.