პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა

მათემატიკაში პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლები ალგებრის აღწერას.

ვთქვათ $𝔤$ ლის ალგებრაა F ველზე. მოდი $U(𝔤)$ იყოს $𝔤$-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა. რადგან ეს უკანასკნელი არის ტენზორული ალგებრის ფაქტორ-ალგებრა, ამიტომ $U(𝔤)$-ს გააჩნია გაფილტრული ალგებრის სტრუქტურა, სადაც $U_k(𝔤)$ არის $U(𝔤)$-ს ქვესივრცე მოჭიმული $𝔤$-ს არაუმეტრეს k-ელემენტთა ნამრავლების მიერ. შესაბამისი დაგრადული ალგებრა

$gr(U)(𝔤)=U_0\oplus U_1/U_0\oplus \cdots \oplus U_k/U_{k-1}\oplus \cdots$

არის კომუტატური, ამასთან :$U_0=F$ და :$U_1(𝔤)/U_0(𝔤)=𝔤$ რის გამოც ჩნდება კომუტატურ ალგებრათა ერთადერთი ჰომომორფიზმი

$\pi :S^{*}(𝔤)\to gr(U)(𝔤)$

რომელიც იგივურია $𝔤$ ქვესივრცეზე. აქ $S^{*}(V)$ აღნიშნავს V ვექტორული სივრცით წარმოქნილ სიმეტრიულ ალგებრას. პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა ამბობს, რომ $\pi$ არის იზომორფიზმი.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1-2. Springer; 2006.

ISBN-10: 3540353356.