იხილეთ წყარო გვერდისთვის ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

'''ლევი-ჩივიტას სიმბოლო''' — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება [[ტენზორული აღრიცხვა|ტენზორულ აღრიცხვში]], რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის [[ტულიო ლევი-ჩივიტა]]ს პატივსაცემად.

==განმარტება==
[[სურათი:Levi-Civita Symbol_cen.png|thumb|250px|ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში.]]

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:

:<math> \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,3,2), (3,2,1) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{if }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases} </math>

ანუ <math> \varepsilon_{ijk} </math> არის 1 თუ (''i'', ''j'', ''k'') წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის  −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო. 

სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
:<math>
  \varepsilon_{ijk} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( k-j \right)}{2} = \frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}.
</math>

ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:

:<math>
  \varepsilon_{ijkl} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( l-i \right)\left( k-j \right)\left( l-j \right)\left( l-k \right)}{12} .
</math>

[[სურათი:Epsilontensor.svg|thumb|250px|ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით.]]
[[სურათი:LeviCivitaTensor.jpg|thumb|250px|მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს.]]

[[წრფივი ალგებრა|წრფივ ალგებრაში]] 3×3 A მატრიცის [[დეტერმინანტი]] მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
 
:<math>
\det A = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}
</math>

ხოლო ორი [[ვექტორი]]ს [[ვექტორული ნამრავლი]] ჩაიწერება შემდეგნაირად

:<math>
\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k
</math>

ან უფრო მარტივად:
:<math>
\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k.
</math>

===კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან===

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია [[კრონეკერის სიმბოლო]]სთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა: 

:<math>
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{bmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{bmatrix},
</math>

:::<math> = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,</math>

:<math>
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
</math>,

და 

:<math>
\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}
</math>

==თვისებები==

1. ორ განზომილებაში, როდესაც <math>i,j,m,n</math> იღებს მნიშვნელობებს <math>\{1,2\}</math>, გვაქვს

::<math>\begin{align}&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn}  =  \delta^m_i \delta^n_j - \delta^n_i \delta^m_j \quad &&(1) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in}  =  \delta^n_j &&(2) \\&\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij}  =  2 &&(3)\end{align}</math>

2. სამ განზომილებაში, როდესაც <math>i,j,k,m,n</math> იღებს მნიშვნელობებს <math>\{1,2,3\}</math>, გვაქვს

::<math>\begin{align}&\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j &&(4)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6 &&(5)\\&\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta^{m}_j\delta^{n}_k - \delta^{n}_j\delta^{m}_k &&(6)\end{align}</math>

3. ''n'' განზომილებაში, როდესაც <math>i_1,...,i_n,j_1,...,j_n</math> იღებს მნიშვნელობებს <math>\{1,...,n\},</math>:
::<math>\begin{align}& \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta^{j_1}_{[ i_1} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]}   &&(7)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta^{j_{k+1}}_{[ i_{k+1}} \dots \delta^{j_n}_{i_n ]} &&(8)\\& \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! &&(9)\end{align}</math>

==მაგალითები==
1. <math>n\times n</math> მატრიცის <math>A=(a_{ij})</math> [[დეტერმინანტი]] გამოისახება შემდეგი ფორმულით

::<math> \det A = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},</math>

სადაც იგულისხმება, რომ ყველა  <math>i_l</math> სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა. 

ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

::<math> \det A = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},</math>

სადაც ყველა <math>i_l</math> და <math>j_l</math> ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა <math>1,\ldots, n</math> შუალედში.

2. თუ <math>A=(A^1, A^2, A^3)</math> და <math>B=(B^1, B^2, B^3)</math> არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი [[ვექტორული ნამრავლი]]ს  <math>i</math>-ური  გეგმილი ტოლია

::<math> (A\times B)^i = \varepsilon^{ijk} A^j B^k.</math>

==იხილეთ აგრეთვე==
*[[ვექტორული ნამრავლი]]
*[[კრონეკერის სიმბოლო]]

==სქოლიო==
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 


[[კატეგორია:წრფივი ალგებრა]] 
[[კატეგორია:ტენზორული აღრიცხვა]]