ცენტრისკენული აჩქარება

ცენტრისკენული (ნორმალური) აჩქარება — მრუდწირული მოძრაობის დროს წერტილის აჩქარების მდგენელი, რომელიც მიმართულია ტრაექტორიის მთავარი ნორმალის გასწვრივ, სიმრუდის ცენტრისაკენ.

რიცხობრივად ცენტრისკენული აჩქარება უდრის $a=\frac{v^2}{R}$, სადაც $v$ არის წერტილის სიჩქარის სიდიდე, $R$ — ტრაექტორიის სიმრუდის რადიუსი.

წრეწირზე მოძრაობისას ცენტრისკენული აჩქარება შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: $a={\omega }^{2}R$, სადაც $\omega$ არის ბრუნვის კუთხური სიჩქარე, $R$ — წრეწირის რადიუსი. წრფივი მოძრაობის შემთხვევაში ცენტრისკენული აჩქარება ნულის ტოლია.

ფორმულების გამოყვანა

ცენტრისკენული აჩქარება სქემატურად

წრეწირზე ნივთიერი წერტილის თანაბარი მოძრაობის დროს მისი წირითი სიჩქარის მოდული უცვლელია, ხოლო წირითი სიჩქარის ვექტორის მიმართულება განუწყვეტლივ იცვლება, რაც იწვევს ნივთიერი წერტილის აჩქარებას. სიჩქარის ვექტორის მიმართულების ცვლილება გამოიწვევს სიჩქარის $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ ცვლილებას რაიმე $\mathrm{\Delta }t$ დროში, ამიტომ ნივთიერი წერტილის აჩქარება იქნება:

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$.    (1)

აჩქარების მიმართულება ემთხვევა სიჩქარის ცვლილების $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ ვექტორის მიმართულებას.

დავუშვათ ნივთიერი წერტილი თანაბრად მოძრაობს $R$ რადიუსიან წრეწირზე. $A$ წერტილში მას მას ჰქონდა ${\overrightarrow{v}}_0$ სიჩქარე, რომელიც მიმართულია მხების გასწვრივ ${\overrightarrow{v}}_0=\overrightarrow{AC}$. $B$ წერტილში ნივთიერი წერტილის სიჩქარემ შეიცვალა მიმართულება, ხოლო მოდული უცვლელი დარჩა $v=v_0$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BD}$. სიჩქარის მიმართულების შეცვლამ გამოიწვია ნივთიერი წერტილის აჩქარება. გადავიტანოთ $A$-დან $B$-ში ${\overrightarrow{v}}_0=\overrightarrow{AC}$ ვექტორი და ვიპოვოთ $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, გვექნება ${\overrightarrow{v}}_0+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ ან ${\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{v}$ (ვექტორების შეკრების წესი). გამოვა, რომ

$\overrightarrow{BE}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$.    (2)

აჩქარების მოდული იქნება:

$a=\frac{BE}{\mathrm{\Delta }t}$.    (3)

განვიხილოთ $BDE$ და $OAB$ ტოლფერდა სამკუთხედები. რადგანაც აღნიშნული სამკუთხედები მსგავსია მართებულია შემდეგი გვერდების პროპორციულობის დაწერაც:

$\frac{BE}{BD}=\frac{AB}{AO}$.  აქედან  $BE=\frac{BD\cdot AB}{AO}$.    (4)

იქიდან გამომდინარე, რომ $BD=v$, $AO=R$, ხოლო $BD$ ქორდა მცირე კუთხის შემთხვევაში მიახლოებით შეიცვლება $AB$ რკალით, რომელიც ნივთიერი წერტილის მიერ $\mathrm{\Delta }t$ დროში $v$ სიჩქარით გავლილი მანძილია $AB\approx \stackrel{{}_{{}_{⌣}}}{AB}=l=v\cdot \mathrm{\Delta }t$. თუ ყველაფერს გავითვალისწინებთ (4) ტოლობაში, გვექნება:

$BE=\frac{v\cdot v\cdot \mathrm{\Delta }t}{R}=\frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{R}$.    (5)

თუ (5) ტოლობას შევიტანთ (3) ტოლობაში, გვექნება:

$a=\frac{v^2}{R}$.    (6)

წრეწირზე თანაბრად მოძრავი ნივთიერი წერტილის აჩქარება უდრის მისი წრფივი სიჩქარის კვადრატის ფარდობას წრეწირის რადიუსთან.

რადგან $v=\omega R$, ამიტომ (6) ტოლობა ასეთ სახეს მიიღებს:

$a={\omega }^{2}R$.    (7)

რადგან $v=2\pi Rn$, ამიტომ (6) ტოლობა ასეც ჩაიწერება:

$a=4{\pi }^2\cdot n^2\cdot R$.    (8)

რადგან $v=\frac{2\pi R}{T}$, ამიტომ (6) ტოლობა ასე ჩაიწერება:

$a=\frac{4{\pi }^2\cdot R}{T^2}$.    (9)

(6), (7), (8) და (9) ტოლობანი წრეწირზე თანაბრად მოძრავი ნივთიერი წერტილის აჩქარების მოდულებს გამოსახავს.

რადგანაც $BD=ED$, ამიტომ $\mathrm{\angle }DBE=\mathrm{\angle }DEB=\alpha$. ცხადია, $2\alpha +\varphi =180^{\circ }$ და $\alpha =\frac{180^{\circ }-\varphi }{2}=90^{\circ }-\frac{\varphi }{2}$.

$\alpha =\frac{180^{\circ }-\varphi }{2}=90^{\circ }-\frac{\varphi }{2}$.    (10)

დროის მცირე $\mathrm{\Delta }t$ შუალედისათვის $\stackrel{{}_{{}_{⌣}}}{AB}$ და $\varphi$ მიისწრაფის ნულისაკენ და $A$ მდებარეობისათვის $\varphi =0$. ცხადია, (10) ტოლობიდან $\alpha =90^{\circ }$. $\alpha$ კი არის კუთხე $\overrightarrow{v}$ ვექტორსა და $\overrightarrow{BE}$ ვექტორს შორის, ანუ წრეწირის მხებსა და აჩქარების ვექტორის მიმართულების შორის კუთხე. გამოდის, რომ წრეწირზე თანაბრად მოძრავი ნივთიერი წერტილის აჩქარების ვექტორი მიმართულია წრეწირის მხების (ამ წერტილში მყისი სიჩქარის) მართობულად $R$ რადიუსის გასწვრივ წრეწირის ცენტრისაკენ, ამიტომ ამ აჩქარებას ცენტრისკენული აჩქარება ეწოდება.