იხილეთ წყარო გვერდისთვის ჯგუფი (მათემატიკა)

'''ჯგუფი''' — ეწოდება არაცარიელ [[სიმრავლეს]], რომელშიც განმარტებულია [[ბინარული]] [[ოპერაცია]] და რომელიც აკმაყოფილებს [[აქსიომა|აქსიომებს]] (იხ. ქვემოთ).

ჯგუფი [[ალგებრა]]ში ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი [[ცნება]]ა, რომელიც ძირითადად [[სიმრავლე]]ების [[კლასიფიკაცია|კლასიფიკაციისათვის]] არის შემოტანილი. [[ალგებრა]]ში შესწავლილია ჯგუფის თვისებები, შესაბამისად ყველა იმ [[სიმრავლე]]სთან მუშაობა რომელიც იქნება ჯგუფი უკვე ხდება ადვილი და გასაგები. ამის შესწავლას დიდი მნიშვნელობა აქვს, ის აგრეთვე გამოიყენება ისეთი ამოცანების დამტკიცებაში როგორიცაა: [[ტრისექტრისა|ტრისექტრისის]] გავლება შეუძლებელია ფარგლითა და სახაზავის მეშვეობით, ხუთის ტოლი ან უფრო მეტი ხარისხიანი [[განტოლება|განტოლებები]] [[რადიკალი|რადიკალებში]] არ იხსნება, ზოგიერთი [[ფუნქცია|ფუნქციის]] [[პირველადი|პირველადები]] არ გამოისახება [[ელემენტარული ფუნქციები|ელემენტარულ ფუნქციებში]], ეს ყველაფერი პირდაპირ კავშირშია [[გალუას თეორია]]სთან.

== მათემატიკური განმარტება ==
არაცარიელ [[სიმრავლე]]ს <math>G</math> რომელშიც განმარტებულია [[ბინარული]] [[ოპერაცია]] <math>\,*\,\colon G \times G \to G</math> ეწოდება ჯგუფი <math>(G,*)</math> თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ [[აქსიომა|აქსიომებს]]:
* <math>\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)</math> [[ასოციატურობა]]
* [[ნეიტრალური ელემენტი]]ს არსებობა: <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)</math>;
* [[შებრუნებული ელემენტი]]ს არსებობა : <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>

=== შენიშვნები ===
ხანდახან ითხოვენ მხოლოდ [[მარჯვენა ნეიტრალური ელემენტი|მარჯვენა]] ან [[მარცხენა ნეიტრალური ელემენტი|მარცხენა]] ნეიტრალური ელემენტის არსებობას. მარტივი დასანახია რომ შებრუნებული ელემენტი ყოველთვი ერთადერთია. 

== მსგავსი განმარტებები ==
* [[კომუტატიურობა]], [[აბელის ჯგუფი]]
* [[ჯგუფის ცენტრი]]
* [[ქვეჯგუფი]]
* [[ნორმალური ქვეჯგუფი]]
* ჯგუფის რიგი, [[სიმძლავრე, ალგერბა|სიმძლავრე]]
* [[რგოლი (მათემატიკა)|რგოლი]]
* [[ველი]]
* [[იდეალი]]
 
=== მაგალითები ===
* [[მთელ რიცხვთა სიმრავლე]] [[ბინარული]] ოპერაცია [[შეკრება|შეკრების]] მიმართ ადგენს ჯგუფს, და რადგანაც [[კომუტატიური]]ა, შესაბამისად ადგენს [[აბელის ჯგუფს]].
* [[ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე]] ნულის გარეშე ადგენს ჯგუფს გამრავლების მიმართ.
* [[რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე]] ნულის გარეშე ადგეს ჯგუფს გამრავლების მიმართ

[[კატეგორია:ალგებრა]]