იხილეთ წყარო გვერდისთვის როტორი

[[ვექტორული აღრიცხვა|ვექტორულ აღრიცხვაში]] '''როტორი''' არის [[ვექტორული ოპერატორი]], რომელიც ახასიათებს სამგანზომილებიანი [[ვექტორული ველი]]ს ბრუნვით თვისებებს. სივრცის ნებისმიერ წერტილში როტორი წარმოადგენს ვექტორს, რომლის სიგრძე და მნიშვნელობა ახასიათებს ველის ბრუნვას ამ წერტილში.

[[გრადიენტი]]სა და [[დივერგენცია|დივერგენციისგან]] განსხვავებით როტორი არ ექვემდებარება ცალსახა განზოგარებას უფრო მაღალი განზომილების სივრცეებისათვის.

== განსაზღვრება ==

რაიმე '''F''' ვექტორული ველის როტორი, რომელიც აღინიშნება როგორც curl '''F''' ან ∇&times;'''F''', რაიმე წერტილში განისაზღვრება ამ წერტილში განლაგებულ ვექტორებზე დაგეგმილების მეშვეობით. თუ <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> არის ნებისმიერი ერთეულოვანი ვექტორი, '''F''' ველის როტორის პროექცია <math>\scriptstyle\mathbf{\hat{n}}</math> ვექტორზე განისაზღვრება როგორც ამ ვექტორის მართობულს სივრცეში აღებული [[წირითი ინტეგრალი]]სა და ამ წირით შემოსაზღვრული არის ფართობის ფარდობის ზღვრული მნიშვნელობა, როდესაც ინტეგრების წირი მიისწრაფის წერილისკენ.

[[ფაილი:Curlorient.svg|200px|right|thumb|წირითი ინტეგრალის ვექტორული ორიენტაციის ილუსტრაცია.]]

მათემატიკურად როტორის განმარტებას აქვს სახე

:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0} \frac{\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{|A|}</math>

სადაც <math>\scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}</math> არის წირითი ინტეგრალი აღებული განსახილველი არის საზღვარზე, ხოლო ''|A|'' არის ამ არის ფართობი.

თუ (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>) არიან [[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა|დეკარტის კოორდინატები]] და (''u''<sub>1</sub>,''u''<sub>2</sub>,''u''<sub>3</sub>) ქმნიან რაიმე სხვა კოორდინატთა სისტემას, მაშინ <math>\scriptstyle a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right )^2}</math> არის <math>\scriptstyle u_i</math> შესაბამისი ვექტორის სიგრძე. როტორის დანარჩენი კომპონენტების განტოლებები მიიღება ამ განტოლებიდან ინდექსების შემდეგი ციკლური გადანაცვლებით: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

== გამოყენება ==

პრაქტიკაში ზევით მოყვანილი განმარტება იშვიათად გამოიყენება, რადგან როტორის გამოთვლა ხდება რომელიმე კონკრეტულ კოორდინატთა სისტემაში.

[[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა]]ში რაიმე '''F''' ველის (რომლის გეგმილებია [''F''<sub>''x''</sub>, ''F''<sub>''y''</sub>, ''F''<sub>''z''</sub>]) როტორი ∇&times;'''F''' მოიცემა შემდეგი მატრიცის [[დეტერმინანტი]]ს მეშვეობით:

:<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>

სადაც '''i''', '''j''', და '''k''' არიან [[ერთეულოვანი ვექტორი|ერთეულოვანი ვექტორები]] შესაბამისად ''x''-, ''y''-, და ''z''-ღერძების გასწვრივ. ეს ფორმულა ასეც შეიძლება ჩიწეროს

:<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>

ნებისმიერ კოორდინატთა სისტემაში როტორის რომელიმე გეგმილი მოიცემა როგორც

:<math>(\nabla \times \mathbf{F} )^k = \epsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>

სადაც ε აღნიშნავს [[ლევი-ჩივიტას სიმბოლო]]ს. ექვივალენტურ ვექტორულ განტოლებას აქვს სახე:

:<math>(\nabla \times \mathbf{F} ) = \boldsymbol{e}_k\epsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>

სადაც '''e'''<sub>''k''</sub> ერთეულოვანი ვექტორია შესაბამისი ღერძის გასწვრივ.

== მაგალითები ==
=== მარტივი ვექტორული ველი ===
განვიხილოთ [[ვექტორული ველი]], რომელიც წრფივად არის დამოკიდებული ''x'' და ''y'' კოორდინატებზე:

:<math>\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.</math>

მისი გრაფიკი შემდეგნაირად გამოიყურება:

[[ფაილი:Uniform curl.svg|center|250px]]

ვიზუალური დათვალიერებითაც ჩანს რომ ეს ველი ბრუნავს.

როტორის გამოთვლით მივიღებთ:

:<math>{\nabla} \times \mathbf{F}  =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}
</math>

რომელიც უარყოფითია ''z'' მიმართულებით და მუდმივია სივრცეში, ანუ განსახილველი ველის 'ბრუნვის რაოდენობა' ერთნაირია სივრცის ნებისმიერ (''x'',&nbsp;''y'') წერტილში. შესაბამისად თავად როტორის გრაფიკს შემდეგი მარტივი ფორმა აქვს:

[[ფაილი:Curl of uniform curl.png|center|250px]]

=== უფრო რთული მაგალითი ===
განვიხილოთ ვექტორული ველი:

:<math>\mathbf{F}(x,y,z)=-x^2\boldsymbol{\hat{y}}.</math>

რომლის გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე:

[[ფაილი:Nonuniform curl.svg|250px|center]]

ერთი შეხედვით ამ გრაფიკზე ბრუნვა არ ჩანს, მაგრამ თუ დავაკვირდებით ნახაზს ვნახავთ, რომ ველის მნიშვნელობა უფრო დიდია x=4 მნიშვნელობისთვის, ვიდრე x=3 მნიშვნელობისთვის. ინტუიციურად ცხადია, რომ თუ ამ არეში მცირე ბორბალისმაგვარ ნიჩაბს მოვათავსებთ, უფრო ძლიერი 'დინება' მარჯვნიდან გამოიწვევს ნიჩაბის ბრუნვას საათის ისრის მიმართულებით, რაც z ღერძის საპირისპირომ მიმართულ როტორს შეესაბამება.

როტორის გამოთვა გვაძლევს:

:<math>{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \boldsymbol{\hat{z}}=-2x\boldsymbol{\hat{z}}.
</math>

რომელიც ასევე გვიჩვენებს, რომ როტორი მიმართულია z ღერძის გასწვრივ უარყოფითი x-ებისთვის და z საწინააღმდეგოდ დადებით x-ებისთვის. ვინაიდან წინა მაგალითისგან განსხვავებით როტორი არ არის მუდმივი სივრცეში, მის გრაფიკს უფრო რთული სახე აქვს:

[[ფაილი:Curl of nonuniform curl.png|center|250px|center]]

== იგივობები ==

ნებისმიერი [[სკალარული ველი]]ს [[გრადიენტი]]ს როტორი იგივურად ნულის ტოლია:

::<math>\nabla \times ( \nabla \phi )  = \vec{0}</math>

თუ <math>\varphi</math> არის სკალარული ფუნქცია, ხოლო '''F''' არის ვექტორული ველი, მაშინ

::<math>\nabla \times ( \varphi \mathbf{F}) = \nabla \varphi \times \mathbf{F} + \varphi \nabla \times \mathbf{ F}  </math>

== იხილეთ აგრეთვე ==
* [[გრადიენტი]]
* [[დივერგენცია]]
* [[ლაპლასიანი]]
* [[გადგრიგალება]]
* [[ვექტორული ნამრავლი]]

== სქოლიო ==
* Arfken, George B. and Hans J. Weber. ''Mathematical Methods For Physicists'', Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
* {{cite book |author=Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn  |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review |publisher=Dover Publications |location=New York |year= |pages=157–160 |isbn=0-486-41147-8 |oclc= |doi=}}

[[კატეგორია:ვექტორული აღრიცხვა]]