იხილეთ წყარო გვერდისთვის პტოლემეს თეორემა


[[ფაილი:Ptolemy_equality.svg|მარჯვნივ|მინი| პტოლემეს თეორემა: <math>\definecolor{V}{RGB}{148,0,211} \definecolor{B}{RGB}{0,0,255} \definecolor{R}{RGB}{204,0,0}
{\color{V}AC}\cdot{\color{V}BD}={\color{B}AB}\cdot{\color{B}CD}+{\color{R}BC}\cdot{\color{R}AD}</math>]]
ევკლიდეს გეომეტრიაში '''პტოლემეს თეორემა''' არის მიმართება ჩახაზული ოთხკუთხედის (ოთხკუთხედი, რომლის წვეროები ძევს საერთო წრეზე) ოთხ გვერდსა და ორ დიაგონალს შორის. თეორემა ბერძენი ასტრონომისა და მათემატიკოსის [[პტოლემე|პტოლემეს]] სახელს ატარებს. <ref>C. Ptolemy, [[Almagest]], Book 1, Chapter 10.</ref>

თუ ჩახაზული ოთხკუთხედის წვეროები არის ''A'', ''B'', ''C'' და ''D'' თანმიმდევრობით (ნახაზი 1), მაშინ თეორემა ამბობს, რომ:

: <math>AC\cdot BD = AB\cdot CD+BC\cdot AD</math>

ეს კავშირი შეიძლება სიტყვიერად გამოიხატოს შემდეგნაირად:

: ''თუ ოთხკუთხედი ჩახაზულია, მაშინ მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლი ტოლია მოპირდაპირე გვერდების წყვილების სიგრძეთა ნამრავლების ჯამის.''

დამატებით, პტოლემეს თეორემა [[თეორემა|პირიქითაც]] მუშაობს:

: ''ოთხკუთხედში, თუ მისი ორი წყვილი მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ნამრავლების ჯამი უდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლს, მაშინ ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, ანუ ის არის ჩახაზული ოთხკუთხედი .''

=== ტოლგვერდა სამკუთხედი ===
[[ფაილი:Ptolemy_Equilateral.svg|მარჯვნივ|მინი| ნახ. 2. ტოლგვერდა სამკუთხედი]]
პტოლემეს თეორემის გაგრძელებაა წრეში ჩახაზული ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევა (ნახაზი 2).

მანძილი წრეზე დასმული რომელიმე წერტილიდან სამკუთხედის ყველაზე შორეულ წვერომდე უდრის მანძილების ჯამს ამ წერტილიდან ორ უახლოეს წვერომდე:

: <math> qs=ps+rs \Rightarrow q=p+r. </math>

=== კვადრატი ===
ნებისმიერი [[კვადრატი]] შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, რომლის ცენტრიც არის კვადრატის ცენტრი. თუ მისი გვერდების სიგრძე უდრის <math>a</math>-ს (ნახაზი 3), მაშინ [[პითაგორას თეორემა|პითაგორას თეორემის]] მიხედვით დიაგონალის სიგრძე უდრის <math>a\sqrt{2}</math>. პტოლემეს მიმართება კი ჭეშმარიტია:

:<math>a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}=a\cdot a + a \cdot a</math>

=== მართკუთხედი ===
[[ფაილი:Ptolemy_Rectangle.svg|მარჯვნივ|მინი| ნახ. 3. კვადრატი]]
უფრო ზოგადად, თუ ოთხკუთხედი არის [[მართკუთხედი]] a და b გვერდებით და d დიაგონალით, მაშინ პტოლემეს თეორემა დასულია პითაგორას თეორემამდე. ამ შემთხვევაში წრის ცენტრი ემთხვევა დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. დიაგონალების ნამრავლი არის <math>d^2</math>, პტოლემეს მიმართების მარჯვენა მხარე არის ჯამი <math>a^2 + b^2</math>.

=== ხუთკუთხედი ===
[[ფაილი:Ptolemy_Pentagon.svg|მარჯვნივ|მინი| ნახ. 4. [[ოქროს კვეთა|ოქროს კვეთი]] გამომდინარეობს პტოლემეს თეორემის ამგვარი გამოყენებიდან]]
უფრო საინტერესო მაგალითია კავშირი გვერდის ''a'' სიგრძეს 5 ქორდასა და ''b'' სიგრძის 3 ქორდას შორის წესიერ ხუთკუთხედში (იხ. ნახაზი 3). კვადრატის შევსებით, მიმართება იძლევა [[ოქროს კვეთა|ოქროს კვეთას]] : <ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII8.html Proposition 8] in Book XIII of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements] proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".</ref>

: <math>\begin{array}{rl}
     b \cdot b         \,\;\;\qquad\quad\qquad =&\!\!\!\! a \! \cdot \! a + a \! \cdot \! b
\\    b^2 \;\; - ab            \quad\qquad =&\!\!   a^2
\\ \frac{b^2}{a^2} \;\; - \frac{ab}{a^2}    \;\;\;\qquad =&\!\!\!    \frac{    a^2 }{a^2}
\\ \left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 =&\!\!   1 + \left(\frac{     1 }{ 2}\right)^2
\\ \left(\frac{b}{a}     -         \frac{1}{2}\right)^2   =&\!\!  \quad \frac{     5 }{ 4}
\\ \frac{b}{a}     -        \frac{1}{2} \;\;\; =&\!\!\!\! \pm \frac{  \sqrt{5}}{ 2}
\\ \frac{b}{a} > 0 \, \Rightarrow \, \varphi = \frac{b}{a} =&\!\!\!\!   \frac{1 + \sqrt{5}}{ 2}
\end{array}</math>

== პტოლემეს უტოლობა ==
[[ფაილი:Ptolemy_Inequality.svg|მინი| ეს ''არ'' არის ჩახაზული ოთხკუთხედი. ტოლობა აქ არასოდეს შესრულდება.]]
პტოლემეს თეორემაში განტოლება არასოდეს არის ჭეშმარიტი არაციკლური ოთხკუთხედების მიმართ. პტოლემეს უტოლობა ამ ფაქტის გაგრძელებაა და ის თეორემის უფრო ზოგადი ფორმაა. თუ მოცემულია ''ABCD'' ოთხკუთხედი, მაშინ:

: <math>\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}</math>

სადაც ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, თუკი ოთხკუთხედი ჩახაზულია. ეს განსაკუთრებული შემთხვევა პტოლემეს თეორემის ტოლფასია.

== სქოლიო ==
{{სქოლიო}}
[[კატეგორია:პლანიმეტრია]]