იხილეთ წყარო გვერდისთვის იმპულსის შენახვის კანონი

'''იმპულსის შენახვის კანონი''' (ან '''მოძრაობის რაოდენობის შენახვის კანონი''') ამტკიცებს, რომ [[ჩაკეტილი სისტემა|ჩაკეტილ სისტემაში]] სხეულების [[იმპულსი|იმპულსების]] ჯამი მუდმივია (ანუ [[შენახვადი სიდიდე]]ა). [[კლასიკური მექანიკა|კლასიკურ მექანიკაში]] იმპულსის შენახვის კანონი შეიძლება გამოყვანილი იქნას [[ნიუტონის კანონები]]დან. თუმცა ეს კანონი სამართლიანია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ნიუტონის კანონები აღარაა სამართლიანი, მაგალითად [[ფარდობითობის თეორია]]ში და [[კვანტური მექანიკა|კვანტურ მექანიკაში]].

[[ნიოტერის თეორემა|ნიოტერის თეორემის]] თანახმად ფიზიკის ყველა [[შენახვის კანონი]] დაკავშირებულია გარკვეულ (უწყვეტ) ფიზიკურ სიმეტრიასთან. იმპულსის შენახვის კანონი პირდაპირ კავშირშია [[სივრცის ერთგვაროვნება]]სთან. 

== გამოყვანა ნიუტონის კანონებიდან==

განვიხილოთ ძალის განმარტება:

:<math>\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.</math>

გადავწეროთ ის ''N'' ნაწილაკისგან შემდგარი სისტემისთვის:

:<math>\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)</math>

აქ ჯამდება ყველა [[ძალა]], რომელიც მოქმედებს ''n''-ე ნაწილაკზე ''m''-ე ნაწილაკის მხრიდან. ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად  <math>\vec {F}_{a,b} </math> და <math>\vec {F}_{b,a} </math> ძალები აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია და მიმართულებით საპირისპიროდ:
: <math>\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.</math> 

მაშინ, ამ ტოლობის (1) განტოლებაში ჩასმით მივიღებთ, რომ განტოლების მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია, ანუ:

:<math>\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0 </math>

ან, ექვივალენტურად

:<math>\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.</math>

როგორც ცნობილია, თუ რაიმე სიდიდის წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ეს სიდიდე მუდმივია გაწარმოების ცვლადით. ანუ ჩაკეტილი სისტემის ჯამური [[იმპულსი]] [[შენახვადი სიდიდე]]ა:

:<math>\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!</math> ([[დრო]]ში მუდმივი [[ვექტორი]]).

== კავშირი სივრცის ერთგვაროვნებასთან ==

[[ნიოტერის თეორემა|ნიოტერის თეორემის]] თანახმად ყველა შენახვის კანონი დაკავშირებულია სისტემის ევოლუციის აღმწერი განტოლებების გარკვეულ სიმეტრიასთან. სახელდობრ, იმპულსის შენახვის კანონი ექვივალენტურია სივრცის ერთგვაროვნების, ანუ იმ დაშვების, რომ ნებისმიერი ფიზიკური სისტემის აღმწერი განტოლებები არ არის დამოკიდებული ათვლის სისტემის მდებარეობაზე სივრცეში. ქვმოთ მოცემულია ამ დებულების გამოყვანა უმარტივეს შემთხვევაში ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენებით.

=== გამოყვანა ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენებით ===

განვიხილოთ თავისუფალი სხეულის [[ლაგრანჟიანი]] <math>\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),</math> რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატებზე <math>q_i\,,</math>, სიჩქარეებზე <math>\dot q_i</math> და ''t'' დროზე . აქ წერტილი ''q'' თავზე აღნიშნავს დროით [[წარმოებული|წარმოებულს]], <math>\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math> ათვლის სისტემად ავიღოთ [[დეკარტის კოორდინატთა სისტემა]]. მაშინ <math>q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a</math> ყველა <math>\!a</math> ნაწილაკისთვის. ყველა ნაწილაკის რადიუს-ვექტორს მივანიჭოთ რაღაცა ნაზრდი (<math>\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi} </math>, სადაც <math>\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>).  სივრცის ერთგვაროვნბიდან გამომდინარე ამითი მოძრაობის განტოლებები არ უნდა შეიცვალოს. ლაგრანჟიანის ცვლილება (ვარიაცია) იქნება :

:<math>\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta  \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}, </math>

სადაც აჯამვა ხდება ყველა ნაწილაკის მიხედვით. ვინაიდან ნარდი არ ცვლის მოძრაობის განტოლებებს, ლაგრანჟიანის ვარიაცია ნულის ტოლი უნდა იყოს: <math>\delta \mathcal L =0.</math>. იმის გათვალისწინებით, რომ <math>\vec \xi</math> [[ვექტორი]] ნებისმიერია, ბოლო პირობა გვაძლევს:

:<math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.</math>

[[ლაგრანჟის განტოლება|ლაგრანჟის განტოლების]] გამოყენებით მივიღებთ:

:<math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} =  \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .</math>

ეს ნიშნავს, რომ დიფერენციალის ქვეშ მდგომი გამოსახულება მუდმივი სიდიდეა განსახილველი სისტემისთვის. ეს გამოსახულება სწორედ არის სისტემის ჯამური [[იმპულსი]]:

:<math>\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} =  \overrightarrow {\mathrm{const}}. </math>.

იმის გათვალისწინებით, რომ თავისუფალი ნაწილაკის [[ლაგრანჟიანი]] არის <math>\mathcal L = \frac{mv^2}{2},</math>, მარტივად შეიძლება დავრწმუნდეთ, რომ ეს გამოსახულება ემთხვევა იმპულსის გამოსახულებას ნიუტონის ფორმალიზმში:

:<math>\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>

რელატივისტური თავისუფალი ნაწილაკისთვის ლაგრანჟიანს სხვა სახე აქვს Для: <math>\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},</math> რასაც [[იმპულსი]]ს რელატვისტურ განმარტებამდე მივყავართ:

:<math>\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>

ამ მომენტისთვის არ არსებობს იმპულსის მუდმივობის კანონის დარღვევის არც ერთი ექსპერიმენტული ფაქტი.

==იმპულსის შენახვის კანონი ფარდობითობის ზოგად თეორიაში ==

ფარდობითობის ზოგად თეორიაში [[ენერგიის შენახვის კანონი|ენერგიისა]] და იმპულსის შენახვის კანონები ჩაიწერება შემდეგნაირად:

:<math>T^\mu_{\nu;\mu}=0,</math>

სადაც 
* <math>T^\mu_{\nu;\mu}</math> არის [[ენერგია-იმპულსის ტენზორი]]; და
* ; აღნიშნავს [[კოვარიანტული წარმოებული|კოვარიანტულ წარმოებულს]].

== იხილეთ აგრეთვე==
*[[ენერგიის შენახვის კანონი]]
*[[იმპულსის მომენტის შენახვის კანონი]]
*[[შენახვის კანონი]]

[[კატეგორია:ფიზიკის კანონები]]