იხილეთ წყარო გვერდისთვის ვექტორი

{{ვიკი}}
[[ფაილი:3D Vector.svg|thumb|right|a ვექტორი სამგანზომილებიან სივრცეში. i, j, k ერთეულოვანი ვექტორებია]]

'''ვექტორი''' (ლათ. vector—გადამტანი) — წარმოადგენს [[წრფივი სივრცე|წრფივი სივრცის]] ელემენტს და იმავდროულად [[ოპერანდი|ოპერანდს]] წრფივ სივრცეში განსაზღვრული შეკრების და რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებისთვის. არსებობს ვექტორის არაკოორდინატული და კოორდინატული განსაზღვრებანი. ეს უკანასკნელი გულისხმობს გარკვეულ ფიქსირებულ [[კოორდინატთა სისტემა]]ს, მაშინ როდესაც არაკოორდინატული განსაზღვრება აქსიომატური ხასიათისაა.

== ვექტორის კოორდინატული განსაზღვრება ==
n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის ვექტორი წარმოადგენს n რიცხვისგან შემდგარ დალაგებულ სისტემას

:<math>\alpha = (a_1, a_2, ..., a_n)</math>,
სადაც <math>a_i</math> რიცხვებს, <math>i = 1, 2, ..., n</math> ეწოდება <math>\alpha</math> ვექტორის კომპონენტები.

ვექტორის მაგალითია [[ვექტორ-მონაკვეთი]], რომელიც გამოდის [[სიბრტყე|სიბრტყის]] ან სამგანზომილებიანი სივრცის კოორდინატთა სათავიდან და შესაბამისად წარმოადგენს ორ ან სამგანზომილებიან ვექტორს. [[წრფივ განტოლებათა სისტემა|წრფივ განტოლებათა სისტემის]] ნებისმიერი ამონახსნი ასევე წარმოადგენს ვექტორის კარგ მაგალითს.

ვექტორი <math>\alpha</math> და <math>\beta = (b_1, b_2, ... b_n)</math> ითვლებიან ტოლებად იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია, ანუ <math>a_i = b_i, i = 1, 2, ..., n. </math>

ვექტორთა ჯამი ეწოდება შემდეგ ვექტორს

:α + β = (a<sub>1</sub> + b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> + b<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)

რომლის თითოეული კომპონენტი წარმოადგენს შესაკრებ ვექტორთა შესაბამისი კომპონენტების ჯამს. ვექტორთა ჯამი კომუტატიური და ასოციატიურია:

:α + β = β + α
:(α + β) + γ = α + (β + γ)

[[იგიური ელემენტი]]ს როლს თამაშობს ნულოვანი ვექტორი:

:0 = (0, 0, ..., 0)

მართლაც,

:α + 0 = (a<sub>1</sub> + 0, a<sub>2</sub> + 0, ..., a<sub>n</sub> + 0) = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>) = α

α = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>) ვექტორის მოპირდაპირე ვექტორი ვუწოდოთ

:-α = (-a<sub>1</sub>, -a<sub>2</sub>, ..., -a<sub>n</sub>)

ვექტორს. ცხადია, რომ

:α + (-α) = 0.

აქედან გამომდინარე, ჯამის პარალელურად შესაძლოა განისაზღვროს ვექტორთა სხვაობა α - β = α + (-β), ანუ

:α - β = (a<sub>1</sub> - b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> - b<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)

:ვექტორის [[რიცხვი|რიცხვზე]] ნამრავლი განისაზღვრება როგორც ვექტორი

:kα = (ka<sub>1</sub>, ka<sub>2</sub>, ..., ka<sub>n</sub>),

სადაც მიღებული ვექტორის თითოეული კომპონენტი წარმოადგენს α ვექტორის შესაბამისი კომპონენტის k რიცხვზე ნამრავლს. ჩამოვთვალოთ ნამრავლის მნიშვნელოვანი თვისებები:

:k(α ± β) = kα ± kβ
:(k ± m)α = kα ± mα
:k(mα) = km(α)
:1α = α
:0α = 0
:(-1)α = -α
:k0 = 0
:თუ kα = 0, მაშინ ან k = 0, ან α = 0

== ვექტორის არაკოორდინატული (აქსიომატური) განსაზღვრება ==

ვთქვათ, მოცემულია რაიმე [[სიმრავლე]] V, რომლის ელემენტებსაც ჩვენ ავღნიშნავთ ბერძნული ასოებით

:α, β, γ, ...

განვსაზღვროთ V სიმრავლეში ოპერაცია ''შეკრება'' როგორც მოქმედება, რომელიც ნებისმიერ α, β - ს V-დან ცალსახად შეუსაბამებს α + β ელემენტს (''ჯამს'') V-დან. ოპერაცია ''[[ნამდვილი რიცხვი|ნამდვილ რიცხვზე]] გამრავლება'' კი ნებისმიერ α - ს V-დან ასევე ცალსახად უთანადებდეს მის ''[[ნამდვილი რიცხვი|ნამდვილ რიცხვზე]]'' ''ნამრავლს'' V-დან.

V-ს ელემენტებს ეწოდება ვექტორები (და თავად V წარმოადგენს [[წრფივი სივრცე|წრფივ სივრცეს]]), თუ ზემოხსენებულ ოპერაციებს გააჩნიათ შემდეგი თვისებები:

# კომუტატიურობა: α + β = β + α.
# ასოციატიურობა: (α + β) + γ = α + (β + γ).
# V-ში არსებობს [[იგიური ელემენტი]] 0, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობას: α + 0 = α (მტკიცდება მისი ერთადერთობა).
# ნებისმიერი α ელემენტისთვის V-დან არსებობს მოპირდაპირე ელემენტი -α € V ისეთი, რომ α + (-α) = 0 (მტკიცდება მისი ერთადერთობაც).
# k(α + β) = kα + kβ.
# (k + m)α = kα + mα.
# (km)α = k(mα).
# 1α = α.

==იხილეთ აგრეთვე==
*[[ტენზორული აღრიცხვა]]
*[[ვექტორული აღრიცხვა]]

[[კატეგორია:წრფივი ალგებრა]]
[[კატეგორია:ვექტორები]]
[[კატეგორია:აბსტრაქტული ალგებრა]]